Induksi matematika merupakan cara untuk mengecek kebenaran dari suatu rumus dan biasanya berhubungan dengan jumlah suatu deret.
Mari kita coba soal berikut, tentang penjumlahan bilangan kuadrat..
Untuk mengecek suatu induksi, biasanya ada tiga langkah..
Dari rumus jumlah diatas, yaitu yang di ruas kanan, kita gunakan dulu n = 1. Tujuannya untuk membuktikan suku pertama yang ada dikiri sama atau tidak.
Suku pertama diruas kiri = 1² = 1
Suku pertama, sama artinya dengan n = 1.
n = 1 sekarang digunakan pada rumus jumlah yang ada diruas kanan, apakah hasilnya bernilai sama dengan suku pertama di ruas kiri atau tidak.
n = 1
= (¹/₆)n(n+1)(2n+1)
= (¹/₆).1.(1+1)(2.1+1)
= (¹/₆).1.(2)(3)
= (¹/₆).6
= 1
Ternyata diperoleh suku pertama diruas kiri sama dengan n =1 pada ruas kanan.
Pada deret diatas, ganti variabel "n" dengan "k".
1² + 2² + 3² + ....... n² = (¹/₆)n(n+1)(2n+1)
Proses yang satu ini mesti diperhatikan, caranya adalah :
Perhatikan lagi ya!!
Saya tulis ulang sesuai warna..
1² + 2² + 3² + ....... k² + (k+1)² = (¹/₆)[k+1][k+2] [2k+3]
Sekarang tugas kita hanya mengubah yang diruas kiri menjadi bentuk yang sama dengan yang ada di ruas kanan.
Ruas kiri persamaan adalah ⇒ (¹/₆)k(k+1)(2k+1) + (k+1)²
Mari kita ubah!!
= (¹/₆)k(k+1)(2k+1) + (k+1)²
→ Karena tidak ada angka di depan (k+1)², itu artinya di depannya ada angka 1.
→ Lihat dibawah
→ Kenapa dibuat (¹/₆).6?
→ Agar kedua suku tersebut sama-sama memiliki ¹/₆
→ Sehingga kita bisa keluarkan ¹/₆
→ Dikedua ruas sama-sama memiliki satu (k+1), yang diwarna merah
→ Ini bisa dikeluarkan/difaktorkan
→ 2k²+7k + 6 = (k+2)(2k+3)
Mari kita coba soal berikut, tentang penjumlahan bilangan kuadrat..
Soal :
1. Buktikanlah induksi matematika berikut : 1² + 2² + 3² + ....... n² = (¹/₆)n(n+1)(2n+1)
1. Buktikanlah induksi matematika berikut : 1² + 2² + 3² + ....... n² = (¹/₆)n(n+1)(2n+1)
Untuk mengecek suatu induksi, biasanya ada tiga langkah..
1. Cek untuk n = 1
Dari rumus jumlah diatas, yaitu yang di ruas kanan, kita gunakan dulu n = 1. Tujuannya untuk membuktikan suku pertama yang ada dikiri sama atau tidak.
Suku pertama diruas kiri = 1² = 1
Suku pertama, sama artinya dengan n = 1.
n = 1 sekarang digunakan pada rumus jumlah yang ada diruas kanan, apakah hasilnya bernilai sama dengan suku pertama di ruas kiri atau tidak.
n = 1
= (¹/₆)n(n+1)(2n+1)
= (¹/₆).1.(1+1)(2.1+1)
= (¹/₆).1.(2)(3)
= (¹/₆).6
= 1
Ternyata diperoleh suku pertama diruas kiri sama dengan n =1 pada ruas kanan.
2. Mengganti "n" dengan "k"
Pada deret diatas, ganti variabel "n" dengan "k".
1² + 2² + 3² + ....... n² = (¹/₆)n(n+1)(2n+1)
- ganti dengan n dengan k
1² + 2² + 3² + ....... k² = (¹/₆)k(k+1)(2k+1)
3. Menambahkan "k+1"
Proses yang satu ini mesti diperhatikan, caranya adalah :
- Pada ruas kiri tambahkan suku "k+1"
- Sedangkan pada ruas kanan, setiap nilai "k" diganti dengan "k+1"
Perhatikan lagi ya!!
1² + 2² + 3² + ....... k² = (¹/₆)k(k+1)(2k+1)
Sekarang menjadi :
1² + 2² + 3² + ....... k² + (k+1)² = (¹/₆)[k+1][(k+1)+1] [2(k+1)+1]
- Setiap nilai "k" pada ruas kanan (warna hijau) diganti dengan "k+1"
1² + 2² + 3² + ....... k² + (k+1)² = (¹/₆)[k+1][k+2] [2k+3]
Saya tulis ulang sesuai warna..
1² + 2² + 3² + ....... k² + (k+1)² = (¹/₆)[k+1][k+2] [2k+3]
- Semua suku yang berwarna merah sama dengan yang warna hijau
- Jadi kita ganti yang warna merah dengan yang warna hijau
(¹/₆)k(k+1)(2k+1) + (k+1)² = (¹/₆)[k+1][k+2] [2k+3]
Sampai disini paham ya!!
Sekarang tugas kita hanya mengubah yang diruas kiri menjadi bentuk yang sama dengan yang ada di ruas kanan.
Ruas kiri persamaan adalah ⇒ (¹/₆)k(k+1)(2k+1) + (k+1)²
Mari kita ubah!!
= (¹/₆)k(k+1)(2k+1) + (k+1)²
→ Lihat dibawah
= (¹/₆)k(k+1)(2k+1) + 1. (k+1)²
= (¹/₆)k(k+1)(2k+1) + (¹/₆).6 (k+1)²
→ Kenapa dibuat (¹/₆).6?
→ Agar kedua suku tersebut sama-sama memiliki ¹/₆
→ Sehingga kita bisa keluarkan ¹/₆
= (¹/₆) {k(k+1)(2k+1) + 6 (k+1)²}
→ (k+1)² = (k+1)(k+1)
→ (k+1)² = (k+1)(k+1)
= (¹/₆) {k(k+1)(2k+1) + 6 (k+1)(k+1)}
→ Dikedua ruas sama-sama memiliki satu (k+1), yang diwarna merah
→ Ini bisa dikeluarkan/difaktorkan
= (¹/₆) (k+1) {k(2k+1) + 6 (k+1)}
→ kalikan k dengan (2k + 1), menjadi 2k²+k
→ kalikan 6 dengan (k+1) menjadi 6k + 6
→ kalikan k dengan (2k + 1), menjadi 2k²+k
→ kalikan 6 dengan (k+1) menjadi 6k + 6
= (¹/₆) (k+1) {2k²+k + 6k + 6}
= (¹/₆) (k+1) {2k²+7k + 6}
→ 2k²+7k + 6 = (k+2)(2k+3)
= (¹/₆) (k+1)(k+2)(2k+3)
Sekarang kita dapatkan bentuk yang diruas kiri sama dengan bentuk yang di ruas kanan dan terbukti bahwa persamaan diatas benar.
Post a Comment for "Induksi : 12 + 22 +32 +...+n2 = 1/6n(n+1)(2n+1)"