Jika A + B + C = 180, buktikan 4.SinA.SinB.SinC = Sin2A + Sin2B + Sin2C

Ok...
Kali ini kita akan membahas masalah trigonometri lagi..

Untuk soalnya sudah sangat jelas pada judul artikel ini dan langsung saja kita kerjakan, pengubahan apa saja yang harus dilakukan demi mendapatkan jawabannya.

Ayo lanjutkan.

Soal :

1. Jika sudut dalam suatu segitiga, yaitu A + B + C = 180, maka buktikan 4.SinA.SinB.SinC = Sin2A + Sin2B + Sin2C!

Jadi...

Kita harus mengubah bentuk dari 4.SinA.SinB.SinC ke dalam bentuk lain yang nilainya tentu saja sama.

1. Pengubahan awal

Nah...

Kal ini penjelasannya agak panjang dan saya akan coba runutkan sebaik mungkin agar anda bisa memahaminya.

Lihat soalnya lagi.

= 4.SinA.SinB.SinC

Kita ubah menjadi bentuk di bawah
4 dipecah menjadi 2 x 2

= 2 [2.SinA.SinB].SinC ... ①

2. Mengubah 2.SinA.SinB

Mari lihat sifat trigonometri berikut :

2.SinA.SinB = Cos (A-B) - Cos (A+B)... ②

Total Ada empat sifat seperti ini yang perlu dihafalkan.

Mengapa dihafal?

Agar mudah dalam mengerjakan soal yang lain.

Sifat yang lain :

2.SinA.CosB = Sin (A+B) + Sin (A-B)
2.CosA.SinB = Sin (A+B) - Sin (A-B)
2.CosA.CosB = Cos (A+B) + Cos (A-B).

3. Masukkan persamaan ② ke persamaan ①

Tulis lagi persamaan ①.

= 2 [2.SinA.SinB].SinC

Ganti "2.SinA.SinB" menjadi "Cos (A-B) - Cos (A+B)" sesuai persamaan ②

= 2 [Cos (A-B) - Cos (A+B)].SinC ... ③

4. Mencari nilai Cos (A+B)

Sekarang pengubahan berikutnya, yaitu mengubah Cos (A+B).

Caranya bagaimana?

Ok...

Saya jelaskan.

Dalam soal diketahui bahwa : A + B + C = 180

Kita ubah ini.

A + B + C = 180

A + B = 180 - C

Sehingga :

Cos (A+B) = Cos (180-C)

Ingat rumus pengurangan cosinus.

Cos (p-q) = cos p.cos q + sin p.sin q

Terus :

Cos (A+B) = Cos (180-C)

Cos (A+B) = Cos180.CosC + Sin180.SinC

Ingat :

Cos 180 = -1
Sin 180 = 0
Nilai cos dan sin sudut istimewa harus dihafalkan ya.

Cos (A+B) = -1.CosC + 0.SinC

Cos (A+B) = -CosC + 0

Cos (A+B) = -CosC ... ④

5. Masukkan persamaan ④ ke persamaan ③

Tulis persaman ③

= 2 [Cos (A-B) - Cos (A+B)].SinC

Ganti Cos (A+B) dengan -CosC sesuai persamaan ④

= 2 [Cos (A-B) - (-CosC)].SinC

= 2 [Cos (A-B) + CosC].SinC

SinC bisa ditulis di depan di sebelah 2.

= 2.SinC[Cos (A-B) + CosC]

Buka kurungnya dan setiap suku yang ada di dalam kurung mendapatkan 2.SinC

= 2.SinC.Cos (A-B) + 2.SinC.CosC... ⑤

6. Mengubah bentuk SinC

Kita gunakan lagi data pada soal, yaitu A + B + C = 180

Cari C.

Sehingga :

C = 180 - (A+B)

Cari sinusnya.

SinC = Sin (180 - (A+B))

Sin (p - q) = Sin p.Cos q - Cos p.Sinq

p = 180
q = (A+B)

SinC = Sin (180 - (A+B))
SinC = Sin180.Cos(A+B) - Cos180.Sin(A+B)

Sin 180 = 0
Cos 180 = -1

SinC = 0.Cos(A+B) - (-1).Sin(A+B)

SinC = 0 +Sin(A+B)

SinC = Sin(A+B)... ⑥

7. Masukkan persamaan ⑥ ke persamaan ⑤

Kita tulis lagi persamaan ⑤

= 2.SinC.Cos (A-B) + 2.SinC.CosC

Ganti SinC dengan Sin(A+B)

= 2.Sin(A+B).Cos (A-B) + 2.SinC.CosC ... ⑦

8. Mengubah bentuk 2.Sin(A+B).Cos(A-B)

Bentuk ini mirip dengan 2.SinP.CosQ.

Ingat lagi sifat trigonometrinya :
2.SinP.CosQ = Sin(P+Q) + Sin(P-Q)

Untuk kasus 2.Sin(A+B).Cos (A-B), maka :
P = A+B
Q = A-B

Sehingga :

2.SinP.CosQ = Sin(P+Q) + Sin(P-Q)
2.Sin(A+B).Cos(A-B) = Sin(A+B+A-B) + Sin(A+B-(A-B))
2.Sin(A+B).Cos(A-B) = Sin(2A) + Sin(A+B-A+B)